تمرین توان گویا ریاضی دهم - مسئله ۱
۱. هر یک از توان‌های کسری زیر را به صورت رادیکال نوشته و در صورت امکان حاصل آن‌ها را به دست آورید.
$$\mathbf{16^{\frac{1}{2}} = \underline{\hspace{1cm}}} \quad \quad \quad \mathbf{5^\frac{1}{2} = \underline{\hspace{1cm}}} \quad \quad \quad \mathbf{4^\frac{3}{2} = \underline{\hspace{1cm}}}$$
$$\mathbf{3^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{2}{3}} = \underline{\hspace{1cm}}} \quad \quad \mathbf{(4^\frac{1}{3})^2 = \underline{\hspace{1cm}}} \quad \quad \mathbf{3^\frac{2}{3} = \underline{\hspace{1cm}}}$$
$$\mathbf{32^{-\frac{1}{5}} = \underline{\hspace{1cm}}} \quad \quad \quad \mathbf{32^\frac{2}{5} = \underline{\hspace{1cm}}} \quad \quad \quad \mathbf{125^\frac{2}{3} = \underline{\hspace{1cm}}}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 61 ریاضی دهم - مسئله ۱
سلام! این تمرین بر استفاده از **قوانین توان گویا** (تبدیل به رادیکال) و **قوانین توان** (ضرب و توان به توان) تمرکز دارد. هدف، ساده‌سازی کامل عبارت‌هاست.
### **محاسبات گام به گام**
1. **$$\mathbf{16^{\frac{1}{2}}}$$**
* **تبدیل:** $\sqrt{16}$
* **حاصل:** $\mathbf{4}$
2. **$$\mathbf{5^{\frac{1}{2}}}$$**
* **تبدیل:** $\sqrt{5}$
* **حاصل:** $\mathbf{\sqrt{5}}$
3. **$$\mathbf{4^{\frac{3}{2}}}$$**
* **تبدیل:** $\sqrt{4^3} = \sqrt{64}$
* **حاصل:** $\mathbf{8}$
4. **$$\mathbf{3^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{2}{3}}}$$**
* **قانون ضرب:** پایه یکسان، توان‌ها جمع می‌شوند: $3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}} = 3^{\frac{3}{6} + \frac{4}{6}} = 3^{\frac{7}{6}}$
* **تبدیل:** $\mathbf{\sqrt[6]{3^7}}$ (یا $3\sqrt[6]{3}$)
5. **$$\mathbf{(4^{\frac{1}{3}})^2}$$**
* **قانون توان به توان:** $4^{\frac{1}{3} \times 2} = 4^{\frac{2}{3}}$
* **تبدیل:** $\mathbf{\sqrt[3]{4^2}}$ (یا $\mathbf{\sqrt[3]{16}}$)
6. **$$\mathbf{3^{\frac{2}{3}}}$$**
* **تبدیل:** $\mathbf{\sqrt[3]{3^2}}$ (یا $\mathbf{\sqrt[3]{9}}$)
7. **$$\mathbf{32^{-\frac{1}{5}}}$$**
* **توان منفی:** $\frac{1}{32^{\frac{1}{5}}}$
* **تبدیل:** $\frac{1}{\sqrt[5]{32}}$
* **محاسبه:** $\sqrt[5]{32} = 2$
* **حاصل:** $\mathbf{\frac{1}{2}}$
8. **$$\mathbf{32^{\frac{2}{5}}}$$**
* **تبدیل:** $\sqrt[5]{32^2} = (\sqrt[5]{32})^2$
* **محاسبه:** $(\sqrt[5]{32})^2 = (2)^2$
* **حاصل:** $\mathbf{4}$
9. **$$\mathbf{125^{\frac{2}{3}}}$$**
* **تبدیل:** $\sqrt[3]{125^2} = (\sqrt[3]{125})^2$
* **محاسبه:** $(\sqrt[3]{125})^2 = (5)^2$
* **حاصل:** $\mathbf{25}$
| عبارت | تبدیل رادیکالی | حاصل نهایی |
| :---: | :---: | :---: |
| $16^{\frac{1}{2}}$ | $\sqrt{16}$ | $\mathbf{4}$ |
| $5^{\frac{1}{2}}$ | $\sqrt{5}$ | $\mathbf{\sqrt{5}}$ |
| $4^{\frac{3}{2}}$ | $\sqrt{4^3}$ | $\mathbf{8}$ |
| $3^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{2}{3}}$ | $\sqrt[6]{3^7}$ | $\mathbf{3\sqrt[6]{3}}$ |
| $(4^{\frac{1}{3}})^2$ | $\sqrt[3]{4^2}$ | $\mathbf{\sqrt[3]{16}}$ |
| $3^{\frac{2}{3}}$ | $\sqrt[3]{3^2}$ | $\mathbf{\sqrt[3]{9}}$ |
| $32^{-\frac{1}{5}}$ | $\frac{1}{\sqrt[5]{32}}$ | $\mathbf{\frac{1}{2}}$ |
| $32^{\frac{2}{5}}$ | $\sqrt[5]{32^2}$ | $\mathbf{4}$ |
| $125^{\frac{2}{3}}$ | $\sqrt[3]{125^2}$ | $\mathbf{25}$ |
تمرین توان گویا ریاضی دهم - مسئله ۲
۲. می‌دانیم $\sqrt[6]{a^2} = a^{\frac{2}{6}} = a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}$ و $\sqrt[12]{a^4} = (a^4)^{\frac{1}{12}} = a^{\frac{4}{12}} = a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}$.
آیا تساوی $\sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m}$ همواره برقرار است؟ ($a>0$ و $n, m, k$ طبیعی‌اند) نتیجه بگیرید که هر سه عدد $\sqrt[6]{2^4}$ و $\sqrt[3]{2^2}$ و $\sqrt{2}$ برابرند.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 61 ریاضی دهم - مسئله ۲
این سوال بر **خاصیت ساده‌سازی فرجه و توان** در رادیکال‌ها تمرکز دارد که مستقیماً از قوانین توان گویا ناشی می‌شود.
### **بررسی تساوی $\mathbf{\sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m}}$**
**اثبات:**
از سمت چپ شروع می‌کنیم و آن را به شکل توان گویا می‌نویسیم:
$$\sqrt[kn]{a^{km}} = a^{\frac{km}{kn}}$$
از آنجایی که $k$ یک عامل مشترک در صورت و مخرج توان است، می‌توان آن را حذف کرد (چون $k$ یک عدد طبیعی است، $k \ne 0$):
$$a^{\frac{km}{kn}} = a^{\frac{m}{n}}$$
حالا $a^{\frac{m}{n}}$ را به شکل رادیکال می‌نویسیم:
$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$$
**نتیجه:** بله، تساوی $\mathbf{\sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m}}$ **همواره برقرار است** (به شرط $a>0$ و $n, m, k \in \mathbb{N}$). این خاصیت به ما می‌گوید که می‌توانیم فرجه و توان زیر رادیکال را به یک عدد طبیعی تقسیم یا ضرب کنیم، بدون آنکه مقدار رادیکال تغییر کند.
***
### **بررسی برابری $\mathbf{\sqrt[6]{2^4}}$، $\mathbf{\sqrt[3]{2^2}}$، و $\mathbf{\sqrt{2}}$**
برای اثبات برابری، هر سه عبارت را به ساده‌ترین شکل (که همان رادیکال با فرجه‌ی کوچک‌تر است) تبدیل می‌کنیم:
1. **$$\mathbf{\sqrt[3]{2^2}}$$**
* توان گویا: $2^{\frac{2}{3}}$
* **ساده‌ترین رادیکال:** $\mathbf{\sqrt[3]{4}}$ (این عبارت از ساده‌تر شدن ناتوان است.)
2. **$$\mathbf{\sqrt[6]{2^4}}$$**
* توان گویا: $2^{\frac{4}{6}}$
* ساده‌سازی توان: $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
* **ساده‌ترین رادیکال:** $2^{\frac{2}{3}} = \mathbf{\sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}}$
3. **$$\mathbf{\sqrt{2}}$$**
* **ساده‌ترین رادیکال:** $\mathbf{\sqrt{2}}$
**توجه و اصلاح:**
در متن سوال اصلی، احتمالاً منظور $\sqrt[6]{2^3}$ و $\sqrt[4]{2^2}$ و $\sqrt{2}$ بوده است. اگر از مثال‌های داده شده در صورت سوال پیروی کنیم:
* **$$\mathbf{\sqrt[6]{2^4}}$$ و $\mathbf{\sqrt[3]{2^2}}$:** این دو برابرند، زیرا $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
* **$$\mathbf{\sqrt{2}}$$:** این عدد به توان $2^{\frac{1}{2}}$ است.
**اگر سؤال اشتباه تایپ شده و منظور برابری $\mathbf{\sqrt[6]{2^3}}$ و $\mathbf{\sqrt[2]{2^1}}$ باشد:**
* $\sqrt[6]{2^3} = 2^{\frac{3}{6}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$
* $\sqrt[2]{2^1} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$
**با فرض برابری داده شده در متن (که $\sqrt{2}$ با بقیه برابر نیست، اما شاید منظور سوال این باشد که آن را به $\sqrt[6]{2^3}$ تبدیل کنیم):**
$$ \sqrt[6]{2^4} = \sqrt[3]{2^2} \quad \text{و } \quad \sqrt{2} = \sqrt[6]{2^3} $$
**نتیجه نهایی بر اساس متن دقیق سوال:**
فقط $\mathbf{\sqrt[6]{2^4}}$ و $\mathbf{\sqrt[3]{2^2}}$ برابرند (و هر دو برابر $\sqrt[3]{4}$ هستند). $\sqrt{2}$ با آن‌ها برابر نیست ($$\sqrt{2} \ne \sqrt[3]{4}$$ چون $2^3=8$ و $(2^\frac{2}{3})^3 = 4$).
تمرین توان گویا ریاضی دهم - مسئله ۴
۴. حساب کنید:
$$\sqrt[3]{\sqrt{5}} = \underline{\hspace{1cm}} \quad \quad \sqrt{\sqrt[3]{64}} = \underline{\hspace{1cm}} \quad \quad \sqrt[4]{\sqrt{81}} = \underline{\hspace{1cm}}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 61 ریاضی دهم - مسئله ۴
این تمرین به ساده‌سازی **رادیکال‌های تو در تو** می‌پردازد. روش اصلی، ضرب کردن فرجه‌ها در یکدیگر است: **$$\mathbf{\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}}$$**
1. **$$\mathbf{\sqrt[3]{\sqrt{5}}}$$**
* **فرجه‌ها:** $3$ و $2$ (ریشه‌ی دوم، فرجه‌اش $2$ است.)
* **ضرب فرجه‌ها:** $3 \times 2 = 6$
* **حاصل:** $\mathbf{\sqrt[6]{5}}$
2. **$$\mathbf{\sqrt{\sqrt[3]{64}}}$$**
* **فرجه‌ها:** $2$ و $3$
* **ضرب فرجه‌ها:** $2 \times 3 = 6$
* **تبدیل:** $\sqrt[6]{64}$
* **محاسبه:** $2^6 = 64$
* **حاصل:** $\mathbf{2}$
3. **$$\mathbf{\sqrt[4]{\sqrt{81}}}$$**
* **فرجه‌ها:** $4$ و $2$
* **ضرب فرجه‌ها:** $4 \times 2 = 8$
* **تبدیل:** $\sqrt[8]{81}$
* **ساده‌سازی:** $81 = 3^4$
* $\sqrt[8]{3^4} = 3^{\frac{4}{8}} = 3^{\frac{1}{2}} = \mathbf{\sqrt{3}}$
| عبارت | تبدیل فرجه | حاصل نهایی |
| :---: | :---: | :---: |
| $\sqrt[3]{\sqrt{5}}$ | $\sqrt[6]{5}$ | $\mathbf{\sqrt[6]{5}}$ |
| $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$ | $\sqrt[6]{64}$ | $\mathbf{2}$ |
| $\sqrt[4]{\sqrt{81}}$ | $\sqrt[8]{81}$ | $\mathbf{\sqrt{3}}$ |
